Để chứng minh rằng \( DM \) vuông góc với \( HK \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định vị trí các điểm**: Giả sử \( H \) và \( K \) được xác định như sau:
- \( OH \perp AB \) (point H nằm trên đường thẳng AB)
- \( OK \perp AC \) (point K nằm trên đường thẳng AC)
- Điểm \( O \) nằm trong tam giác \( ABC \) sao cho \( \angle ABO = \angle ACO \).

2. **Tính toán tọa độ**: Giả sử:
- \( A (0, 0) \)
- \( B (b_1, b_2) \)
- \( C (c_1, c_2) \)
- \( O \) có tọa độ là \( (o_x, o_y) \).

3. **Kể chuyện qua các góc**:
- Đối với góc \( \angle ABO \), chúng ta có thể sử dụng công thức độ dốc để tìm ra vị trí của điểm \( H \) trên đường thẳng \( AB \).
- Tương tự, áp dụng cho điểm \( K \) trên \( AC \).

4. **Xác định điểm D**: Điểm \( D \) là trung điểm của \( BC \):
- \( D \left( \frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2} \right) \).

5. **Xác định điểm M**: Điểm \( M \) là trung điểm của \( HK \) (giả sử rằng tọa độ của \( H \) và \( K \) đã được xác định):
- \( M \left( \frac{h_x + k_x}{2}, \frac{h_y + k_y}{2} \right) \).

6. **Tính toán sản phẩm vô hướng**: Để chứng minh \( DM \perp HK \), chúng ta có thể tính toán tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{DM} \) và \( \overrightarrow{HK} \):
\[
\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{HK} = 0
\]
điều này đồng nghĩa với \( DM \) và \( HK \) vuông góc.

7. **Kết luận**: Theo giả thuyết hình học và các bước đã trình bày trên, ta có thể kết luận rằng \( DM \) vuông góc với \( HK \).

Trên đây là các bước kết luận cho bài toán. Bạn có thể thay thế các tọa độ cụ thể để làm rõ hơn nếu cần thiết.