Cho a+b+c=2 và a,b,c>0 . Cmr a^2+b^2+c^2 lớn hơn hoặc bằng 4/3

Giả sử \( a + b + c = 2 \) và \( a, b, c > 0 \). Ta muốn chứng minh rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{4}{3}
\]

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)
\]

Từ đó, ta có:

\[
(2)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)
\]

Suy ra:

\[
4 \leq 3(a^2+b^2+c^2)
\]

Chia hai vế cho 3:

\[
\frac{4}{3} \leq a^2 + b^2 + c^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{4}{3}
\]

Vì vậy, điều phải chứng minh đã được khẳng định.