Chứng minh: ∠tứ giác NAOB là hình vuông và tính độ dài của đoạn thẳng ON và đường tròn (O), về một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại P, Q

Để chứng minh ∠tứ giác NAOB là hình vuông và tính độ dài của đoạn thẳng ON và đường tròn (O), chúng ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác NAOB là hình vuông và tính độ dài của NA và NB

1. **Tứ giác NAOB**:
- Vì N nằm ngoài đường tròn (O) sao cho hai tiếp tuyến NA và NB đều cắt tại N.
- Theo tính chất của tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và bán kính vuông góc tại điểm tiếp xúc. Do đó, ta có:
- NA ⊥ OA và NB ⊥ OB
- Vì vậy, ∠NAB = 90° và ∠NBA = 90°.

2. **Nhận xét về tứ giác**:
- Với NA ⊥ OA và NB ⊥ OB, ta có ∠AOB = ∠A + ∠B = 90°.
- Tứ giác NAOB có 4 góc 90°, nên NAOB là hình chữ nhật.

3. **Chứng minh là hình vuông**:
- Xét tính chất của các đoạn thẳng NA và NB:
- NA = NB (bởi tính chất của tiếp tuyến từ điểm ra ngoài đường tròn đến các điểm tiếp xúc)
- Do đó, tứ giác NAOB có các cạnh đối diện bằng nhau và có các góc vuông, nên NAOB là hình vuông.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng ON và đường tròn (O)

1. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Đặt đường kính của đường tròn (O) là d = 6 cm, bán kính R = 3 cm.
- Từ O đến N có đoạn thẳng ON là đường vuông góc từ O đến đường thẳng NA (ngày góc vuông tại N).
- Bán kính OA = 5 cm, và OA = ON + AN (với AN = 3 cm - bán kính) ⇒ ON = OA - AN = 5 cm - 3 cm = 2 cm.

### c) Chứng minh △ OKP = △ OAN và tính độ dài của PQ

1. **Chứng minh hai tam giác bằng nhau**:
- Xét các góc:
- ∠OKP = ∠OAN (cùng góc tại O)
- ∠KOP và ∠NAO đều là 90° (theo tính chất vuông góc của tiếp tuyến).
- Do đó: △ OKP ≅ △ OAN (cạnh huyền và hai cạnh góc vuông).

2. **Tính độ dài của đoạn PQ**:
- Sử dụng công thức trong tam giác vuông là AN và KN là cùng một chiều cao từ O xuống tiếp tuyến PQ.
- Từ đây có thể thiết lập một công thức để tính độ dài PQ dựa vào cân bằng giữa hai tam giác đã chứng minh.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác NAOB là hình vuông, tính được độ dài đoạn ON là 2 cm, và chứng minh các tam giác bằng nhau, tiến hành tính độ dài đoạn PQ theo yêu cầu bài toán.