Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n²+n-1)²-25 luôn chia hết cho 24

Để chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \), biểu thức \( (n^2+n-1)^2 - 25 \) chia hết cho 24, ta sẽ biến đổi biểu thức này và kiểm tra tính chia hết của nó cho từng yếu tố.

Đầu tiên, ta nhận xét rằng \( (n^2+n-1)^2 - 25 \) có thể viết lại như sau:

\[
(n^2+n-1)^2 - 25 = (n^2+n-1 - 5)(n^2+n-1 + 5)
\]

Gọi \( a = n^2+n-1 \). Khi đó, biểu thức có thể được viết là:

\[
(a-5)(a+5)
\]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem \( (a-5)(a+5) \) có chia hết cho 24 hay không. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 3 và 8 (vì \( 24 = 3 \times 8 \)).

### Bước 1: Chia hết cho 3

Ta sẽ xét \( n^2+n-1 \) modulo 3. Các giá trị của \( n \) modulo 3 có thể là 0, 1, hoặc 2:

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 0^2+0-1 \equiv -1 \equiv 2 \mod 3
\]
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 1^2+1-1 \equiv 1 \mod 3
\]
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 2^2+2-1 \equiv 4+2-1 \equiv 5 \equiv 2 \mod 3
\]

Kết quả là, khi \( n \equiv 0 \mod 3 \) hoặc \( n \equiv 2 \mod 3 \), ta có \( n^2+n-1 \equiv 2 \mod 3 \), còn khi \( n \equiv 1 \mod 3 \) thì \( n^2+n-1 \equiv 1 \mod 3 \). Nhưng trong cả ba trường hợp:

- \( n^2+n-1 \equiv 2 \mod 3 \) thì \( a - 5 \equiv 2 - 5 \equiv -3 \equiv 0 \mod 3 \)
- \( n^2+n-1 \equiv 1 \mod 3 \) thì \( a - 5 \equiv 1 - 5 \equiv -4 \equiv 2 \mod 3 \) và \( a + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \mod 3 \)

=> Trong tất cả các trường hợp, \( (a-5)(a+5) \equiv 0 \mod 3 \).

### Bước 2: Chia hết cho 8

Tiếp theo, ta sẽ xét \( n^2+n-1 \) modulo 8. Các giá trị của \( n \) modulo 8 có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hoặc 7:

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv -1 \equiv 7 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 1+1-1 \equiv 1 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 2^2+2-1 \equiv 5 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 3 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 3^2+3-1 \equiv 11 \equiv 3 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 4 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 4^2+4-1 \equiv 19 \equiv 3 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 5 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 5^2+5-1 \equiv 29 \equiv 5 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 6 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 6^2+6-1 \equiv 41 \equiv 1 \mod 8
\]
- Nếu \( n \equiv 7 \mod 8 \):
\[
n^2+n-1 \equiv 7^2+7-1 \equiv 55 \equiv 7 \mod 8
\]

Từ các giá trị này, ta có thể thấy rằng \( n^2+n-1 \) có thể nhận các giá trị 0, 1, 3, 5, 7 modulo 8. Dựa vào đó, ta có:

- Nếu \( n^2+n-1 \equiv 0, 1, 7 \) thì \( (a-5)(a+5) \) sẽ chia hết cho 8 vì:
* \( 7-5=2 \) và \( 7+5=12 \), chia hết cho 8.
* \( 1-5=-4 \equiv 4 \), \( 1+5=6 \) và các xét phòng phần khác sẽ có một trong số sẽ chia hết cho 8.

=> Kết luận \( (a-5)(a+5) \equiv 0 \mod 8 \)

### Kết luận

Vì \( (a-5)(a+5) \) chia hết cho 3 và 8, do đó, ta có:

\[
(a-5)(a+5) \equiv 0 \mod 24
\]

Vậy, \( (n^2+n-1)^2 - 25 \) luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên \( n \). Chúng ta đã hoàn thành quá trình chứng minh.