Để chứng minh rằng tam giác \( \triangle ABD \) bằng tam giác \( \triangle ACD \), ta sẽ sử dụng các yếu tố về cạnh và góc của hai tam giác này.

1. **Cạnh giống nhau**:
- Ta có \( AB = AC \) (theo giả thiết).
- Theo cách chọn điểm \( D \) sao cho \( BD = DC \), suy ra \( BD = DC \).

2. **Cạnh chung**:
- Cạnh \( AD \) là cạnh chung của hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \).

3. **Góc**:
- Ta có \( \angle ABD = \angle ACD \) (do \( BD = DC \), các góc ở điểm D đối với hai tam giác là góc đối xứng).

Từ đó, chúng ta có:
- \( AB = AC \)
- \( BD = DC \)
- \( AD = AD \) (cạnh chung)

Từ những thông tin trên, ta có hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACD \) có:
- Cạnh bên \( AB \) bằng cạnh bên \( AC \),
- Cạnh bên \( BD \) bằng cạnh bên \( DC \),
- Cạnh chung \( AD \).

Theo tiêu chuẩn công nhận tam giác hai cạnh và một góc (SAS - Side-Angle-Side), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD
\]

Kết luận: Ta đã chứng minh rằng \( \triangle ABD \) bằng \( \triangle ACD \).