Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy của chiếc hộp hình hộp chữ nhật (x > 0).

Khi đó, chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{{x^2}}}\) (dm).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S = 2S_đáy + S_xq = 2x² + 4x.\(\frac{{{x^2}}}\) = 2x² + \(\frac{x}\) (dm²).

Ta có: S' = 4x – \(\frac{{{x^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ x = \(\sqrt[3]\).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Do đó, diện tích toàn phần nhỏ nhất là S = \(6\sqrt[3]\) dm² khi x = \(\sqrt[3]\) dm.