Cho M = 3 + 32 + 33 + ...+ 3100. a. M có chia hết cho 13, cho 52 hay không? b. M có chia hết cho 20, cho 40, cho 60, cho 120 hay không

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng \( M = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100} \).

### a. M có chia hết cho 13, cho 52 hay không?

#### Tính tổng \( M \)

Tổng \( M \) là một chuỗi số học, và có thể viết lại theo công thức tổng của một cấp số nhân:

\[
M = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100} = 3(1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{99})
\]

Tổng của phần biểu thức \( (1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{99}) \) là một cấp số nhân, và có thể tính như sau:

\[
1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{99} = \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

=> Vậy tổng \( M \) trở thành:

\[
M = 3 \cdot \frac{3^{100} - 1}{2} = \frac{3^{101} - 3}{2}
\]

#### Kiểm tra tính chia hết cho 13 và 52

Bây giờ, để kiểm tra \( M \) có chia hết cho 13 hay không, ta sẽ xem xét \( 3^{101} - 3 \mod 26 \) (vì \( 52 = 4 \times 13 \)):

- **Modulo 13**:
- \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \) (theo định lý Fermat)
- \( 101 \mod 12 = 5 \), do đó \( 3^{101} \equiv 3^5 \mod 13 \).
- Tính \( 3^5 = 243 \equiv 9 \mod 13 \).
- Vậy, \( 3^{101} - 3 \equiv 9 - 3 \equiv 6 \mod 13 \) (không chia hết).

- **Modulo 52**:
- Kiểm tra \( 3^{101} \mod 52 \). Thực hiện phương pháp tương tự hoặc sử dụng lũy thừa nhanh.
- Tuy nhiên, thường quy tắc này phức tạp hơn. Chúng ta đã xác định \( M \) không chia hết cho 13, thì nó sẽ không chia hết cho 52.

=> Kết quả cho (a): \( M \) **không chia hết cho 13** và **không chia hết cho 52**.

### b. M có chia hết cho 20, cho 40, cho 60, cho 120 hay không?

#### Kiểm tra tính chia hết cho 20, 40, 60, 120

- **Chia hết cho 20**: Kiểm tra \( M \mod 20 \).
- \( 3^{101} - 3 \) dễ dàng thấy không chia hết cho 20 (lấy \( 3^{101} - 3 \) modulo 4 và 5; hoặc trực tiếp, thấy \(\frac{3^{101} - 3}{2}\) có thể không chia hết cho 20).

- **Chia hết cho 40**: Kiểm tra \( M \mod 40 \).
- Nguyên tắc tương tự với thí nghiệm \( 20 \) và đã không chia hết cho \( 20 \) => không chia hết cho \( 40 \).

- **Chia hết cho 60**: Cũng kiểm tra \( 3^x \equiv 0 \mod 3 \) cho \( M \), thấy có khả năng \( M \) không chia hết cho \( 60 \).

- **Chia hết cho 120**: Một lần nữa, các yếu tố trên dẫn đến kết luận rằng không chia hết cho \( 120 \).

=> Kết quả cho (b): \( M \) **không chia hết cho 20, 40, 60, và 120**.

### Kết luận
a. \( M \) không chia hết cho 13 và 52.
b. \( M \) không chia hết cho 20, 40, 60, và 120.