Để phân tích đa thức \( M = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 \) thành nhân tử, ta thực hiện các bước sau.

**Bước 1: Mở rộng đa thức.**

Ta cần mở rộng phần \( x(x + 4)(x + 6)(x + 10) \).

- Tính \( (x + 4)(x + 6) = x^2 + 10x + 24 \)
- Giờ ta có \( (x^2 + 10x + 24)(x + 10) \):

\[
(x^2 + 10x + 24)(x + 10) = x^3 + 10x^2 + 24x + 10x^2 + 100x + 240 = x^3 + 20x^2 + 124x + 240
\]

- Nhân cả biểu thức với \( x \):

\[
x(x^3 + 20x^2 + 124x + 240) = x^4 + 20x^3 + 124x^2 + 240x
\]

Vậy

\[
M = x^4 + 20x^3 + 124x^2 + 240x + 128
\]

**Bước 2: Cộng thêm 128**

Thay vào trong \( M \):

\[
M = x^4 + 20x^3 + 124x^2 + 240x + 128
\]

**Bước 3: Nhận diện một dạng phân tích**

Tìm các giá trị cần thiết để \( M \) có thể phân tích. Có thể kiểm tra xem \( M \) có thể viết dưới dạng một hạng tử bậc 2 với những hạng tử giống nhau không. Chúng ta có thể giả định \( M \) có dạng:

\[
M = (x^2 + ax + b)^2
\]

Hoặc một dạng tương tự. Tuy nhiên, quá trình này có thể phức tạp, cần có phép thử và sai.

**Bước 4: Sử dụng số hạng tự do**

Thay \( x = -4 \):

\[
M(-4) = (-4)(-4 + 4)(-4 + 6)(-4 + 10) + 128 = 0 + 128 = 128
\]

Thay \( x = -6 \):

\[
M(-6) = (-6)(-6 + 4)(-6 + 6)(-6 + 10) + 128 = 0 + 128 = 128
\]

Thay \( x = -10 \):

\[
M(-10) = (-10)(-10 + 4)(-10 + 6)(-10 + 10) + 128 = 0 + 128 = 128
\]

**Bước 5: Kết luận**

Từ đó suy ra rằng \( M \) gồm nhiều hạng tử có chung giá trị. Thực hiện tiếp các phép tính hoặc phép thử với dạng \( (x^2 + cx + d)(x^2 + ex + f) \). Tóm lại, quá trình này cần chọn lựa và kiểm tra những hạng tử phù hợp nhất để có kết quả cuối cùng.

**Kết quả:**

Do tính chất phức tạp của đa thức, nếu cần rõ ràng, có thể thực hiện qua hệ số và từng bước một. Một kỹ thuật thường gặp là bù trừ các hạng tử nhằm giải thích được dạng cần thiết. Khi có các giá trị này, ta có thể suy ngược lại về dạng phân tích chính xác và đơn giản nhất của chúng.