Để tìm các số nguyên \( n \) thỏa mãn bất đẳng thức \( 3^{64} < n^{48} < 5^{72} \), ta sẽ giải bất đẳng thức này từng phần.

1. **Giải bất đẳng thức bên trái:**

\[
3^{64} < n^{48}
\]

Ta có thể biến đổi thành:

\[
n > 3^{\frac{64}{48}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3^{1.3333}
\]

Tính giá trị gần đúng của \( 3^{\frac{4}{3}} \):

\[
3^{1.3333} \approx 4.326
\]

Vì vậy, từ bất đẳng thức này, \( n \) phải lớn hơn 4.326. Số nguyên nhỏ nhất sau giá trị này là 5.

2. **Giải bất đẳng thức bên phải:**

\[
n^{48} < 5^{72}
\]

Ta có thể biến đổi thành:

\[
n < 5^{\frac{72}{48}} = 5^{\frac{3}{2}} = 5^{1.5}
\]

Tính giá trị gần đúng của \( 5^{1.5} \):

\[
5^{1.5} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} \approx 11.180
\]

Vì vậy, từ bất đẳng thức này, \( n \) phải nhỏ hơn 11.180. Số nguyên lớn nhất trước giá trị này là 11.

Tóm lại, \( n \) cần thỏa mãn:

\[
5 \leq n < 11.180
\]

Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là:

\[
n = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
\]

Vậy các số nguyên \( n \) thỏa mãn bất đẳng thức \( 3^{64} < n^{48} < 5^{72} \) là:

\[
\{ 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \}
\]