Để đa thức \( P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n - 10) \) bằng 0 với mọi giá trị của \( x \), cả hai hệ số phải bằng 0.

1. Hệ số của \( x \):
\[
3m - 5n + 1 = 0
\]

2. Hệ số hằng:
\[
4m - n - 10 = 0
\]

Giải hệ phương trình trên:

**Từ phương trình 1:**
\[
3m - 5n + 1 = 0 \implies 3m - 5n = -1 \implies 3m = 5n - 1 \implies m = \frac{5n - 1}{3}
\]

**Thay giá trị của \( m \) vào phương trình 2:**
\[
4\left(\frac{5n - 1}{3}\right) - n - 10 = 0
\]
\[
\frac{20n - 4}{3} - n - 10 = 0
\]
Nhân cả phương trình với 3 để loại bỏ mẫu:
\[
20n - 4 - 3n - 30 = 0
\]
\[
17n - 34 = 0 \implies 17n = 34 \implies n = 2
\]

**Thay giá trị \( n = 2 \) vào phương trình tính \( m \):**
\[
m = \frac{5(2) - 1}{3} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

**Kết quả:**
\[
m = 3, \quad n = 2
\]