Để giải phương trình \( x + \frac{5}{6} = \frac{16}{42} + \frac{8}{56} \), trước tiên ta sẽ làm đơn giản các phân số bên phải phương trình.

1. Tính giá trị của các phân số:

\[
\frac{16}{42} = \frac{8}{21} \quad \text{(rút gọn)}
\]

Tiếp theo, rút gọn \( \frac{8}{56} \):

\[
\frac{8}{56} = \frac{1}{7} \quad \text{(rút gọn)}
\]

2. Bây giờ thay vào phương trình:

\[
x + \frac{5}{6} = \frac{8}{21} + \frac{1}{7}
\]

3. Để cộng các phân số bên phải, ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của \( 21 \) và \( 7 \) là \( 21 \):

\[
\frac{1}{7} = \frac{3}{21}
\]

4. Thay thế và cộng:

\[
\frac{8}{21} + \frac{3}{21} = \frac{11}{21}
\]

5. Thay vào phương trình:

\[
x + \frac{5}{6} = \frac{11}{21}
\]

6. Giải phương trình này bằng cách trừ \( \frac{5}{6} \) từ cả hai phía:

\[
x = \frac{11}{21} - \frac{5}{6}
\]

7. Để thực hiện phép trừ này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung của \( 21 \) và \( 6 \) là \( 42 \):

\[
\frac{11}{21} = \frac{22}{42}, \quad \frac{5}{6} = \frac{35}{42}
\]

8. Thay vào biểu thức:

\[
x = \frac{22}{42} - \frac{35}{42} = \frac{22 - 35}{42} = \frac{-13}{42}
\]

Vậy giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{-\frac{13}{42}}
\]