Chứng minh góc ABD = góc BAC; từ đó chứng minh tam giác EAB cân

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ đi từng bước một.

### 1) Chứng minh góc ABD = góc BAC và từ đó chứng minh tam giác EAB cân

- **Lập luận:** Trong hình thang ABCD với AB // CD, ta có các góc trong cùng phía đối với các cặp cạnh song song là góc ABD và góc BAC.

- Theo tính chất góc của hình thang, ta có:
\[
\angle ABD = \angle BAC
\]

- **Chứng minh tam giác EAB cân:** Gọi E là giao điểm của AC và BD.

- Trong tam giác EAB, chúng ta có:
\[
\angle AEB = \angle AEB
\]
và vì \(\angle AEB\) là góc chung nằm giữa hai cạnh AE và BE.

- Do đó, theo định nghĩa của tam giác cân, với \(\angle ABD = \angle BAC\), ta có:
\[
AB = AE \text{ (từ góc tương ứng)}
\]

- Kết luận: Tam giác EAB là tam giác cân với AB = AE.

### 2) Chứng minh tam giác EDC cân

- **Lập luận:** Tương tự, trong tam giác EDC với E là giao điểm của AC và BD.

- Ta cũng có:
\[
\angle EDC = \angle DCE
\]

- Từ đó, có thể phát biểu rằng tam giác EDC cũng là tam giác cân.

### 3) Gọi K là trung điểm của AB, H là trung điểm của DC. Chứng minh KH đồng thời là đường trung trực của hai đáy AB và DC

- **Lập luận:** K là trung điểm của AB, H là trung điểm của CD.

- Đoạn thẳng KH sẽ cắt đoạn AB tại K và đoạn DC tại H.

- Giả sử AB = a, CD = b, theo tính chất của hình thang cân (AB // CD), đoạn KH sẽ luôn nằm giữa hai đáy AB và CD, tức là cả hai đoạn AK và BH đều có độ dài bằng nhau do K và H đều là trung điểm.

- **Chứng minh KH là đường trung trực:**
- Đoạn KH vuông góc với cả AB và CD, đó chính là tính chất của đường trung trực.

Vì tất cả các điểm đều tuân theo các định lý của hình học phẳng, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán: góc ABD = góc BAC, tam giác EAB cân, tam giác EDC cân, và KH là đường trung trực của AB và CD.