Bài toán này liên quan đến hình học phẳng, cụ thể là đường tròn và đường thẳng. Dưới đây là hướng dẫn để giải từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh rằng các điểm \( A, O, B, H, M \) cùng thuộc một đường tròn.

**Giải:**
- Vẽ đường tròn đi qua các điểm \( A \), \( B \), \( H \), và \( M \).
- Để chứng minh điều này, bạn có thể sử dụng tính chất của các góc ở đỉnh.

### b) Chứng minh rằng \( OK \cdot OH = OI \cdot OM \).

**Giải:**
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( OM \) với đường tròn \( (O; R) \) và \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( (O; R) \).
- Áp dụng đường kính và các tính chất của hình thang, ta có:
\[
OK \cdot OH = OI \cdot OM
\]
- Đây có thể được chứng minh thông qua các phương pháp đường tròn.

### c) Chứng minh \( E \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( MAB \).

**Giải:**
- Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm của các đường phân giác.
- Vì \( E \) là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác \( MAB \), nên \( E \) là tâm đường tròn nội tiếp.

### d) Tìm vị trí của \( M \) trên đường thẳng \( d \) để diện tích tam giác \( OIK \) đạt giá trị lớn nhất.

**Giải:**
- Diện tích tam giác \( OIK \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot OI \cdot \sin(\angle OIK)
\]
- Để diện tích này đạt cực đại, ta cần tìm điều kiện nào để \( OK \) và \( OI \) lớn nhất và góc \( \angle OIK \) là 90 độ.
- Một cách tiếp cận là sử dụng phương trình tọa độ để khảo sát.

Hy vọng bạn có thể áp dụng những hướng dẫn này để giải quyết bài toán!