Để giải phương trình

\[
\frac{x}{x-3} + \frac{x}{x+1} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)},
\]

đầu tiên, ta tìm mẫu số chung cho các phân số ở vế trái. Mẫu số chung sẽ là \((x-3)(x+1)\).

Biến đổi phương trình theo mẫu số chung:

\[
\frac{x(x+1) + x(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)}.
\]

Rút gọn vế trái:

\[
\frac{x^2 + x + x^2 - 3x}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)}.
\]

Thì ta có:

\[
\frac{2x^2 - 2x}{(x-3)(x+1)} = \frac{4x}{(x+1)(x-3)}.
\]

Bây giờ, nhân cả hai vế với \((x-3)(x+1)\) để loại bỏ mẫu số:

\[
2x^2 - 2x = 4x.
\]

Chuyển vé về cùng một bên:

\[
2x^2 - 6x = 0.
\]

Factoring phương trình này ra:

\[
2x(x - 3) = 0.
\]

Vậy có hai nghiệm:

1. \(x = 0\)
2. \(x = 3\)

Nhưng cần chú ý rằng \(x\) không được bằng 3 vì mẫu số sẽ trở thành 0.

Vậy nghiệm hợp lệ duy nhất là:

\[
\boxed{0}.
\]