Cho hàm số (y = \frac{2mx - 4}{x - m}) có đồ thị ©. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © khi (m = 1).

• Khi (m = 1), hàm số trở thành (y = \frac{2x - 4}{x - 1}).
• Tìm các điểm đặc biệt, đạo hàm và xét dấu để khảo sát sự biến thiên.

b) Tìm (m) để đồ thị © cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB cân tại O ((O) là gốc tọa độ).

• Đặt (y = 0), giải phương trình để tìm (x).
• Xét điều kiện để tam giác OAB cân tại O.

Giải phương trình: [ \sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2} ]

• Đặt (\sin x = a) và (\cos x = b), với (a^2 + b^2 = 1).
• Giải hệ phương trình để tìm (x).

Tính tích phân: [ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sqrt{3}\cos^2 x + \sin^2 x) , dx ]

• Sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
• Tính tích phân sau khi đơn giản hóa.

Cho hàm số (y = x^3 - 3x^2 + mx - m - 1) có đồ thị là ©. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi (m = -1).

• Khi (m = -1), hàm số trở thành (y = x^3 - 3x^2 - x + 1).
• Tìm các điểm đặc biệt, đạo hàm và xét dấu để khảo sát sự biến thiên.

b) Tìm (m) để tiếp tuyến của đồ thị ©, tại điểm có hoành độ bằng 1, song song với đường thẳng (y = x + 2017).

• Tính đạo hàm của hàm số tại (x = 1).
• Đặt đạo hàm bằng hệ số góc của đường thẳng (y = x + 2017) để tìm (m).

Giải phương trình: [ x^2 - 5x + 6 = 0 ]

• Phương trình bậc hai có nghiệm: [ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} ]
• Vậy (x = 3) hoặc (x = 2).

Tính tích phân: [ I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) , dx ]

• Tính nguyên hàm: [ \int (3x^2 - 2x + 1) , dx = x^3 - x^2 + x ]
• Tính giá trị tại các cận: [ I = [x^3 - x^2 + x]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1 ]

Giải hệ phương trình: [ \begin{cases} 2x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases} ]

• Giải phương trình thứ hai để tìm (x): [ x = y + 1 ]
• Thay vào phương trình thứ nhất: [ 2(y + 1) + y = 5 ] [ 2y + 2 + y = 5 ] [ 3y = 3 ] [ y = 1 ]
• Thay (y = 1) vào (x = y + 1): [ x = 2 ]

Tính đạo hàm của hàm số: [ y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 ]

• Đạo hàm: [ y’ = 3x^2 - 6x + 2 ]

Giải phương trình: [ \log_2 (x^2 - 3x + 2) = 1 ]

• Đổi cơ số: [ x^2 - 3x + 2 = 2 ]
• Giải phương trình bậc hai: [ x^2 - 3x = 0 ] [ x(x - 3) = 0 ] [ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 ]

Tính giới hạn: [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} ]

• Sử dụng giới hạn cơ bản: [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]