Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính chiều cao MH**:
- Trong tam giác vuông MHP, theo định lý Pitago, ta có:
\[
MP^2 = MH^2 + HP^2
\]
- Thay giá trị vào:
\[
15^2 = MH^2 + 9^2
\]
\[
225 = MH^2 + 81
\]
\[
MH^2 = 225 - 81 = 144
\]
\[
MH = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm}
\]

2. **Chứng minh tứ giác EFPN là hình thang cân**:
- Gọi \(O\) là giao điểm của \(EP\) và \(FN\).
- Ta có \(ME = MF\) nên:
\[
OE = OF
\]
- Bây giờ, để chứng minh ba điểm \(M\), \(O\), \(H\) thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng:
- Do \(MH\) là đường cao của tam giác cân \(MNP\), nên \(H\) nằm trên đường thẳng MN.
- Mặt khác, điểm \(O\) nằm trên hai đường thẳng \(EP\) và \(FN\), và do tính chất hình thang cân, ta có thể thấy rằng các đường thẳng này cũng sẽ giao nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng \(MH\).

Kết luận, vì \(OE = OF\) và \(M\), \(O\), \(H\) thẳng hàng, nên tứ giác EFPN là hình thang cân.