Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) = \sqrt[4]{1-x} + \sqrt[4]{1+x} + \sqrt[4]{1-x^2} \), ta bắt đầu với miền xác định của hàm số.

Biểu thức \( \sqrt[4]{1-x} \), \( \sqrt[4]{1+x} \), và \( \sqrt[4]{1-x^2} \) đều có nghĩa khi các biểu thức bên trong không âm.

- Với \( \sqrt[4]{1-x} \), yêu cầu \( 1 - x \geq 0 \) tức là \( x \leq 1 \).
- Với \( \sqrt[4]{1+x} \), yêu cầu \( 1 + x \geq 0 \) tức là \( x \geq -1 \).
- Với \( \sqrt[4]{1-x^2} \), yêu cầu \( 1 - x^2 \geq 0 \) tức là \( -1 \leq x \leq 1 \).

Vậy miền xác định của \( f(x) \) là \( -1 \leq x \leq 1 \).

Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của \( f(x) \) tại các đầu của miền xác định và tại điểm \( x = 0 \):

1. **Tại \( x = -1 \)**:
\[
f(-1) = \sqrt[4]{1 - (-1)} + \sqrt[4]{1 + (-1)} + \sqrt[4]{1 - (-1)^2} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{0} + \sqrt[4]{0} = \sqrt[4]{2}
\]

2. **Tại \( x = 0 \)**:
\[
f(0) = \sqrt[4]{1 - 0} + \sqrt[4]{1 + 0} + \sqrt[4]{1 - 0^2} = \sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{1} = 3
\]

3. **Tại \( x = 1 \)**:
\[
f(1) = \sqrt[4]{1 - 1} + \sqrt[4]{1 + 1} + \sqrt[4]{1 - 1^2} = \sqrt[4]{0} + \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{0} = \sqrt[4]{2}
\]

Bây giờ ta so sánh các giá trị đã tính:

- \( f(-1) = \sqrt[4]{2} \)
- \( f(0) = 3 \)
- \( f(1) = \sqrt[4]{2} \)

Ta thấy \( \sqrt[4]{2} < 3 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trong miền \( -1 \leq x \leq 1 \) là:
\[
\boxed{\sqrt[4]{2}}
\]