Để rút gọn biểu thức

\[
\left( \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

**Bước 1:** Tính tổng trong dấu ngoặc.

Tìm mẫu số chung cho hai phân số:

Mẫu số chung là \((x - 9) \cdot \sqrt{x + 3}\).

Viết lại:

\[
\frac{(x + 3) \sqrt{x + 3} + (x - 9)}{(x - 9) \sqrt{x + 3}}
\]

**Bước 2:** Tiến hành rút gọn tử số.

Tử số là:

\[
(x + 3)\sqrt{x + 3} + (x - 9) = (x + 3)\sqrt{x + 3} + x - 9
\]

**Bước 3:** Nhân toàn bộ biểu thức với \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}}\).

Thay vào biểu thức:

\[
\left( \frac{(x + 3)\sqrt{x + 3} + x - 9}{(x - 9) \sqrt{x + 3}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}}
\]

**Bước 4:** Rút gọn.

Kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
\frac{((x + 3)\sqrt{x + 3} + x - 9) \sqrt{x}}{(x - 9)(x + 3)}
\]

**Bước 5:** Phân tích và rút gọn tiếp nếu có thể, nhưng tùy vào giá trị cụ thể của \(x\), có thể có thêm rút gọn.

Do đó, biểu thức đã rút gọn sẽ là:

\[
\frac{((x + 3)\sqrt{x + 3} + x - 9) \sqrt{x}}{(x - 9)(x + 3)}.
\]

Hy vọng giúp ích cho bạn!