Để giải phương trình \(x^x + 2^x + 3^x + \ldots + 2011^x = 2012 \cdot 2013\), ta sẽ phân tích và thử một số giá trị của \(x\).

### Bước 1: Kiểm tra giá trị \(x = 0\)

Thử với \(x = 0\):
\[
0^0 + 1^0 + 2^0 + \ldots + 2011^0 = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 = 2012
\]
\[
2012 \cdot 2013 = 2012 \cdot 2013 \quad (không bằng 2012)
\]

### Bước 2: Kiểm tra giá trị \(x = 1\)

Thử với \(x = 1\):
\[
1^1 + 2^1 + 3^1 + \ldots + 2011^1 = 1 + 2 + 3 + \ldots + 2011
\]
Tính tổng \(1 + 2 + 3 + \ldots + 2011\):
\[
\text{Tổng} = \frac{2011 \cdot (2011 + 1)}{2} = \frac{2011 \cdot 2012}{2} = 1006 \cdot 2011 = 2022066
\]
\[
2012 \cdot 2013 = 2012 \cdot 2013 = 4056156 \quad (không bằng 2022066)
\]

### Bước 3: Kiểm tra giá trị \(x = 2\)

Thử với \(x = 2\):
\[
0^2 + 1^2 + 2^2 + \ldots + 2011^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + \ldots + 2011^2
\]
Tính tổng \(0^2 + 1^2 + 2^2 + \ldots + 2011^2\):
\[
\text{Tổng} = \frac{2011 \cdot (2011 + 1) \cdot (2 \cdot 2011 + 1)}{6} = \frac{2011 \cdot 2012 \cdot 4023}{6}
\]
Tính giá trị cụ thể:
\[
= 2011 \cdot 2012 \cdot 670.5 = \text{Giá trị lớn hơn nhiều so với } 4056156 \quad (không bằng)
\]

### Bước 4: Tìm giá trị khác cho \(x\)

Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác của \(x\) như \(x = -1\), hoặc các giá trị thực tế hơn. Mục tiêu là đôi khi có thể tính toán bằng công cụ hỗ trợ hoặc tìm kiếm bằng chương trình tính toán.

### Bước 5: Thử giá trị \(x \approx -1\)

Thử với \(x = -1\):
\[
(-1)^{-1} + 0^{-1} + 1^{-1} + 2^{-1} + \ldots + 2011^{-1} = -1 + \infty \quad (không xác định)
\]
Do đó, tiếp tục kiểm tra các giá trị chưa rõ ràng cho \(x\) là phương pháp còn lại.

### Bước 6: Sử dụng sự đối xứng và hàm số để ước lượng

Dễ dàng hơn, ta có thể xác định rằng phương trình sẽ có nghiệm tại một giá trị gần giữa giữa \(0\) tới \(2\) nhưng yếu tố khó kiểm soát sẽ dẫn đến hơn là một định lý nguyên tắc.

### Kết luận
Sau khi kiểm tra nhiều giá trị, ta có thể suy diễn rằng giá trị hợp lý cho \(x\) là một giá trị trong khoảng gần \(2\) và có thể sử dụng công cụ nào khác để tìm ra nghiệm hoặc tiếp tục tinh chỉnh hơn.

Tuy nhiên, để tìm nghiệm lần 2 thực tế, ta có thể xét sự độc lập của hàm số và giá trị nhân và đôi khi dùng các bộ giải tự động cho các nghiệm phức tạp hơn.