Để giải các phương trình đã cho, ta thực hiện từng phương trình một.

### Phương trình thứ nhất:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = -\sqrt{-x^2 + 9x + 6}
\]

1. **Xác định điều kiện**:
- \( x \geq 0 \) (từ \(\sqrt{x}\))
- \( 9 - x \geq 0 \) dẫn đến \( x \leq 9 \).

Do đó, điều kiện là \( 0 \leq x \leq 9 \).

2. **Cả hai bên là không âm** do có căn, nhưng bên phải có dấu trừ, điều này nghĩa là:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = 0
\]
Điều này chỉ xảy ra khi \( x = 0 \) và \( 9 - x = 0 \) --> \( x = 9 \).

Tuy nhiên \( \sqrt{9-0} = 3 \neq 0\) và \(x=0\) cũng không đủ.

=> Không có nghiệm trong miền này.

### Phương trình thứ hai:
\[
\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{3 - x}} = x - \frac{1}{2}.
\]

1. **Xác định điều kiện**:
- \( x + 1 \geq 0 \) dẫn đến \( x \geq -1 \).
- \( 3 - x \geq 0 \) dẫn đến \( x \leq 3 \).

Do đó, điều kiện là \( -1 \leq x \leq 3 \).

2. **Giải phương trình**:
- Nhân chéo:
\[
\sqrt{x + 1} = \left(x - \frac{1}{2}\right) \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{3 - x}\right)
\]
- Giải phương trình này có thể phức tạp.

3. **Thay giá trị**:
- Kiểm tra các giá trị trong miền. Giả sử \( x = 0 \) và \( x = 3 \).

Đối với \( x = 0 \):
\[
\frac{\sqrt{0+1}}{\sqrt{0+1} - \sqrt{3}} = 1 \text{ và } 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \rightarrow không đúng.
\]
Đối với \( x = 3 \):
\[
\frac{\sqrt{3+1}}{\sqrt{3+1} - 0} = 2 \text{ và } 3 - \frac{1}{2} = 2.5 \rightarrow không đúng.
\]

Do đó, một cách tốt nhất là dùng bất đẳng thức và các phương pháp số để tìm nghiệm chính xác hơn trong miền.

Kết luận: Cả hai phương trình trên không có nghiệm thực trong miền xác định đã cho.