Gọi số tự nhiên cần tìm là \( x \). Nếu viết thêm chữ số 9 vào tận cùng bên phải của \( x \), chúng ta sẽ có số mới là \( 10x + 9 \).

Theo bài toán, ta có phương trình:

\[
10x + 9 = x + 1809
\]

Giải phương trình này:

1. Đưa tất cả \( x \) về một phía:

\[
10x - x = 1809 - 9
\]

2. Đơn giản hóa:

\[
9x = 1800
\]

3. Chia cả hai bên cho 9:

\[
x = \frac{1800}{9} = 200
\]

Vậy số tự nhiên cần tìm là \( 200 \).

Để kiểm tra:

- Khi viết thêm chữ số 9 vào bên phải của 200, ta có \( 2009 \).
- Số mới này hơn số nguyên ban đầu \( 200 \) đúng 1809:

\[
2009 - 200 = 1809
\]

Vậy kết quả là đúng. Số tự nhiên cần tìm là \( \boxed{200} \).