Để chứng minh hai kết luận này, chúng ta sẽ phân tích hình vẽ và sử dụng một số tính chất của tam giác và các đường thẳng song song.

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC.
- E là một điểm trên cạnh AC.
- Đường thẳng DE // AB cắt BC tại D.
- Đường thẳng EF // BC cắt AB tại F.
- AE = BF.

### a) Chứng minh tam giác AED cân

1. Do DE // AB nên \(\angle ADE = \angle AFB\) (cùng một góc đồng vị).
2. Do EF // BC nên \(\angle AEF = \angle ABC\) (cùng một góc đồng vị).
3. Xét tam giác AEF và ABC:
- Ta có \(AE = BF\) (theo giả thiết).
- Vì EF // BC, ta có \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) (tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác).

Từ đó, do tỷ lệ này và \(AE = BF\) chúng ta có thể suy ra tỉ lệ các đoạn thẳng trong tam giác đều.

4. Tổng hợp lại ta có:
- \(\angle ADE = \angle AFB\) và \(AE = BF\).

Vì vậy, tam giác AED có \(\angle ADE = \angle AEF\) và \(AE = EF\) sẽ dẫn đến \(AD = AE\). Do đó, ta suy ra tam giác AED là tam giác cân tại điểm A.

### b) Chứng minh AD là phân giác của góc A

1. Từ những gì đã chứng minh ở trên, chúng ta đã có \(\angle ADE = \angle AFB\).
2. Theo cùng một cách, dán nhãn các cạnh và góc, ta có:
- \( \angle AEF + \angle ABC = \angle AFB + \angle ABC = \angle ABC\) vì EF // BC.

3. Ngoài ra, do AD là phân giác góc A, nên nó tạo ra hai góc:
- \(\angle DAE = \angle DAB\).

4. Kết hợp lại, ta sẽ có:
- \(\angle DAB = \angle DAE\) và do đó AD chính là phân giác của góc A.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tam giác AED cân và AD là phân giác của góc A, hoàn thành bài toán.