Để so sánh hai số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+2003}{b+2003} \), chúng ta có thể thực hiện so sánh bằng cách đưa về cùng mẫu số hoặc tính toán hiệu của hai số này. Cụ thể, chúng ta sẽ tính hiệu:

\[
\frac{a+2003}{b+2003} - \frac{a}{b}
\]

Chúng ta sẽ đưa về cùng mẫu:

\[
\frac{(a + 2003)b - a(b + 2003)}{b(b + 2003)} = \frac{ab + 2003b - ab - 2003a}{b(b + 2003)} = \frac{2003b - 2003a}{b(b + 2003)} = \frac{2003(b - a)}{b(b + 2003)}
\]

Bây giờ chúng ta phân tích biểu thức này:

- Nếu \( b > a \), thì \( b - a > 0 \) và \( 2003(b - a) > 0 \), nên \( \frac{2003(b - a)}{b(b + 2003} > 0 \) dẫn đến \( \frac{a+2003}{b+2003} > \frac{a}{b} \).

- Nếu \( b < a \), thì \( b - a < 0 \) và \( 2003(b - a) < 0 \), nên \( \frac{2003(b - a)}{b(b + 2003)} < 0 \) dẫn đến \( \frac{a+2003}{b+2003} < \frac{a}{b} \).

- Nếu \( b = a \), thì \( b - a = 0 \) và \( \frac{2003(b - a)}{b(b + 2003)} = 0 \), dẫn đến \( \frac{a+2003}{b+2003} = \frac{a}{b} \).

Tóm lại, ta có thể kết luận:

\[
\begin{cases}
\frac{a+2003}{b+2003} > \frac{a}{b} & \text{ nếu } b > a \\
\frac{a+2003}{b+2003} < \frac{a}{b} & \text{ nếu } b < a \\
\frac{a+2003}{b+2003} = \frac{a}{b} & \text{ nếu } b = a
\end{cases}
\]

Điều này cho phép chúng ta so sánh hai số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{a+2003}{b+2003} \) tùy thuộc vào giá trị của \( a \) và \( b \).