Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c

Để chứng minh rằng \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), chúng ta sẽ sử dụng định lý về tỷ lệ giữa các cạnh và các góc trong một tam giác.

1. **Diện tích của tam giác** \( S \):
\[
S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}bc \sin A
\]
Từ đó, chúng ta có thể biểu diễn diện tích \( S \) theo các cạnh và các góc.

2. **Đường tròn ngoại tiếp**:
Tâm (O) và bán kính (R) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có thể được biểu diễn bằng công thức:
\[
S = \frac{abc}{4R}
\]
Từ hai công thức diện tích trên, ta có thể tìm mối quan hệ giữa các cạnh và các góc với bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

3. **Sử dụng các công thức diện tích**:
Chúng ta nhận thấy rằng từ công thức diện tích,
\[
S = \frac{1}{2}bc \sin A,
\]
Thay \( S \) vào công thức \( S = \frac{abc}{4R} \):
\[
\frac{1}{2}bc \sin A = \frac{abc}{4R}
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{bc \sin A}{2} = \frac{abc}{4R}
\]
Rút gọn hai bên phương trình, ta có:
\[
4R \sin A = 2a \implies 2R = \frac{a}{\sin A}
\]
Tương tự, chúng ta có thể chứng minh cho các cặp cạnh và góc khác:
\[
2R = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Từ đó, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

4. **Kết luận**:
Chúng ta đã chứng minh yêu cầu rằng \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \).