Để tìm các cặp số nguyên dương \((a, b, c)\) sao cho \(a^2 + 1\) và \(b^2 + 1\) là số nguyên tố và \((a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1\), ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Xét điều kiện cho các số nguyên tố**:
Chúng ta cần \(a^2 + 1\) và \(b^2 + 1\) là số nguyên tố. Đầu tiên, ta cần tìm các giá trị \(a\) và \(b\) sao cho \(a^2 + 1\) và \(b^2 + 1\) là nguyên tố.

2. **Thử các giá trị của a và b**:
- Khi \(a = 1\): \(a^2 + 1 = 2\) (nguyên tố).
- Khi \(a = 2\): \(a^2 + 1 = 5\) (nguyên tố).
- Khi \(a = 3\): \(a^2 + 1 = 10\) (không phải nguyên tố).
- Khi \(a = 4\): \(a^2 + 1 = 17\) (nguyên tố).
- Khi \(a = 5\): \(a^2 + 1 = 26\) (không phải nguyên tố).
- Khi \(a = 6\): \(a^2 + 1 = 37\) (nguyên tố).
- Khi \(a = 7\): \(a^2 + 1 = 50\) (không phải nguyên tố).
- Tiếp tục tương tự cho các giá trị cao hơn.

Từ đó, ta có thể xác định \(a\) có thể là \(1, 2, 4, 6\).

3. **Tương tự cho b**:
Áp dụng tương tự cho \(b\), ta cũng sẽ có các giá trị tương tự với \(b\) là \(1, 2, 4, 6\).

4. **Xét điều kiện \((a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1\)**:
Bây giờ chúng ta sẽ thử các cặp \((a, b)\):
- Với \(a = 1\) và \(b = 1\):
\[
(1^2 + 1)(1^2 + 1) = 2 \times 2 = 4
\]
\[
c^2 + 1 = 4 \Rightarrow c^2 = 3 \quad (c \text{ không nguyên dương})
\]

- Với \(a = 1\) và \(b = 2\):
\[
(1^2 + 1)(2^2 + 1) = 2 \times 5 = 10
\]
\[
c^2 + 1 = 10 \Rightarrow c^2 = 9 \Rightarrow c = 3
\]
Ta có cặp \((1, 2, 3)\).

- Với \(a = 2\) và \(b = 2\):
\[
(2^2 + 1)(2^2 + 1) = 5 \times 5 = 25
\]
\[
c^2 + 1 = 25 \Rightarrow c^2 = 24 \quad (c \text{ không nguyên dương})
\]

- Với \(a = 2\) và \(b = 4\):
\[
(2^2 + 1)(4^2 + 1) = 5 \times 17 = 85
\]
\[
c^2 + 1 = 85 \Rightarrow c^2 = 84 \quad (c \text{ không nguyên dương})
\]

- Tiếp tục cho các cặp khác, chẳng hạn như \(a = 4\), \(b = 2\), \(a = 4\), \(b = 4\) và các cặp có thể khác.

5. **Kết luận**:
Sau khi thử nghiệm các cặp \((a, b)\), ta chỉ tìm ra cặp \((1, 2, 3)\) thỏa mãn điều kiện. Có thể sẽ có thêm các cặp khác, tuy nhiên, việc kiểm tra nhanh cho các giá trị cao hơn là cần thiết để đảm bảo toàn bộ điều kiện bài toán được thỏa mãn.

Do đó, một cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện là:

\((1, 2, 3)\).