Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một:

### a) Tính giá trị của B khi \( x^2 = 4 \)

Giá trị của \( x \) có thể là \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \).

Ta sẽ tính \( B \) theo công thức:
\[
B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}
\]

**Với \( x = 2 \):**
\[
B = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2+2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
\]

**Với \( x = -2 \):**
Ta không thể dùng giá trị âm trong căn bậc hai với phép toán này, vì \( \sqrt{x} \) với \( x = -2 \) không có nghĩa trong tập số thực.

Vậy giá trị của \( B \) khi \( x^2 = 4 \) là \( B = \sqrt{2} \).

### b) Rút gọn biểu thức \( P = B + A \)

Ta cần tính giá trị của \( A \):
\[
A = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+2}} + \frac{2+\sqrt{5\sqrt{x}}}{4-x}
\]

**Với \( x = 2 \):**
\[
A = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2+2}} + \frac{2+\sqrt{5\sqrt{2}}}{4-2}
= \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4}} + \frac{2+\sqrt{5\sqrt{2}}}{2}
= \frac{\sqrt{2}+1}{2} + 1 + \frac{\sqrt{5\sqrt{2}}}{2}
\]

Sắp xếp lại kết quả:
\[
A = \frac{\sqrt{2}+1 + 2 + \sqrt{5\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2}} + 3}{2}
\]

Vậy:
\[
P = B + A = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2}} + 3}{2}
\]

Rút gọn:
\[
P = \frac{2\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2}} + 3}{2}
= \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2}} + 3}{2}
\]

### c) So sánh \( \sqrt{P} \) với 2

Do chưa có giá trị cụ thể cho \( P \) mà chỉ có biểu thức, nên không thể đánh giá chính xác \( \sqrt{P} \) mà không tính \( P \) một cách cụ thể. Ta cần biết giá trị của \( P \) để xác định xem \( \sqrt{P} \) có lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng 2.

Tuy nhiên, từ biểu thức thu được:
\[
P = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2}} + 3}{2}
\]
Ta có thể đánh giá sơ bộ:
- \( \sqrt{2} \approx 1.41 \), vậy \( 3\sqrt{2} \approx 4.24 \).
- \( \sqrt{5\sqrt{2}} \) cũng là một giá trị dương.
- Do đó \( P \) sẽ là một số dương lớn hơn 2.

Vì thế, có thể suy ra rằng \( \sqrt{P} > 2 \).

### Kết luận
1. \( B = \sqrt{2} \)
2. \( P = B + A \) đã được rút gọn.
3. \( \sqrt{P} > 2 \).