Để chứng minh tứ giác \( BEDF \) là hình bình hành, ta có thể sử dụng đặc điểm liên quan đến trung điểm của các đoạn thẳng trong hình bình hành.

### Chứng minh tứ giác \( BEDF \) là hình bình hành

1. **Xác định trung điểm**: Gọi \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( CD \). Theo định nghĩa của trung điểm, ta có:
- \( AE = EB \)
- \( CF = FD \)

2. **Chứng minh đoạn \( EF \) song song với \( BD \)**:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), \( AB \) song song với \( CD \).
- Do \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên theo tính chất của trung điểm, ta có đoạn thẳng nối hai trung điểm này \( EF \) song song với \( BD \).

3. **Chứng minh đoạn \( EF \) bằng đoạn \( BD \)**:
- Từ định nghĩa của hình bình hành, ta biết rằng chiều dài của các cạnh đối diện bằng nhau. Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm nên:
\[
EF = \frac{1}{2}BD
\]

4. **Kết luận**: Từ (2) và (3), ta có:
- \( EF \) song song với \( BD \) và \( EF = \frac{1}{2}BD \)
- Tương tự, \( EB \) cũng song song với \( DF \) và có độ dài bằng nửa chiều dài của \( DF \).

Do đó, tứ giác \( BEDF \) là hình bình hành.

### Chứng minh \( E, O, F \) thẳng hàng

1. **Vị trí giao điểm \( O \)**: Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình bình hành \( ABCD \).

2. **Trung điểm**: Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên:
- \( O \) cũng là trung điểm của cả đoạn thẳng \( EF \) (do tính chất của hình bình hành).

3. **Kết luận thẳng hàng**: Do \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( EF \) (vì \( O \) là giao điểm vạch chia), do đó, \( E, O, F \) thẳng hàng.

Tóm lại, tứ giác \( BEDF \) là hình bình hành và \( E, O, F \) thẳng hàng.