Để chứng minh rằng \( x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{2} \), ta bắt đầu từ biểu thức đã cho:

\[
x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-z^2} + z\sqrt{1-x^2} = \frac{3}{2}
\]

Gọi \( a = \sqrt{1 - y^2} \), \( b = \sqrt{1 - z^2} \), và \( c = \sqrt{1 - x^2} \). Khi đó, ta có:

\[
xa + yb + zc = \frac{3}{2}
\]

Mục tiêu là tìm được mối liên hệ giữa \( x, y, z \) và \( a, b, c \). Từ tính chất của các số thực và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) \geq (xa + yb + zc)^2
\]

Theo đó, thay \( xa + yb + zc = \frac{3}{2} \):

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) \geq \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\]

Tiếp theo, với \( a^2 + b^2 + c^2 = (1 - y^2) + (1 - z^2) + (1 - x^2) = 3 - (x^2 + y^2 + z^2) \):

Ta được:

\[
(x^2 + y^2 + z^2)(3 - (x^2 + y^2 + z^2)) \geq \frac{9}{4}
\]

Gọi \( t = x^2 + y^2 + z^2 \). Khi đó, ta có phương trình:

\[
t(3 - t) \geq \frac{9}{4}
\]

Giải phương trình này:

\[
3t - t^2 \geq \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad 4t^2 - 12t + 9 \leq 0
\]

Phân tích bất phương trình:

\[
(2t - 3)^2 \leq 0
\]

Từ đó, ta có \( 2t - 3 = 0 \) hay \( t = \frac{3}{2} \).

Vì vậy, chứng minh thành công rằng:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{2}
\]