Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = (2x + 5)^4 + 3 \), ta cần phân tích từng thành phần trong biểu thức này.

1. **Phân tích biểu thức**:
- \( (2x + 5)^4 \) là một hàm bậc chẵn, do đó giá trị của nó không bao giờ âm. Giá trị nhỏ nhất của \( (2x + 5)^4 \) là 0 khi \( 2x + 5 = 0 \), tức là \( x = -\frac{5}{2} \).

2. **Tính giá trị nhỏ nhất**:
- Khi \( x = -\frac{5}{2} \):
\[
(2x + 5)^4 = (2 \cdot -\frac{5}{2} + 5)^4 = (0)^4 = 0.
\]
- Do đó, giá trị của \( A \) tại điểm này là:
\[
A = 0 + 3 = 3.
\]

3. **Kết luận**:
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là **3** và đạt được khi \( x = -\frac{5}{2} \).