Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu. Đầu tiên, ta cần vẽ hình để dễ hình dung các điểm và đoạn thẳng:

### Vẽ Hình

1. Vẽ tam giác vuông ABC với A là điểm vuông.
2. Kẻ đường cao AH từ A xuống cạnh BC.
3. Kẻ đường thẳng vuông góc HP từ điểm P (thuộc AB) xuống.
4. Kẻ đường thẳng vuông góc HQ từ điểm Q (thuộc AC) xuống.
5. Gọi K là trung điểm của HC, và O là giao điểm của AH và PQ.

### a. Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

Xét tứ giác AQHP, chúng ta có:

- Hình vuông: Nếu AQ = AP, QH = HP và hai đường chéo AH và PQ bằng nhau và vuông góc với nhau.

- Hình chữ nhật: Nếu các góc của tứ giác AQHP là 90 độ.

Do PQ là đường vuông góc với AB, và HQ là đường vuông góc với AC (có nghĩa là đường HP có góc vuông với AB và HQ có góc vuông với AC). Vì vậy, khi vẽ, tứ giác AQHP có các góc vuông tại P và Q.

### Kết luận: Tứ giác AQHP là hình chữ nhật vì có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, đồng thời có bốn góc vuông.

### b. Tam giác KQH có cân và OK là đường trung trực của HQ.

**Chứng minh:**

1. K là trung điểm của HC. Do đó, HK = KC.
2. KQ = KQ (đoạn thẳng chung).
3. H là điểm thuộc đường cao AH, nên PT là vuông góc với HC.

=> Suy ra tam giác KQH là tam giác cân tại K.

Hơn nữa, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó, điều này có nghĩa là OK sẽ vuông góc với HQ và có K là trung điểm của HC.

### c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân.

Tứ giác AOKC là hình thang cân nếu OA // KC.

**Điều kiện:**

Trong tam giác ABC vuông tại A, điều kiện để OA và KC song song và bằng nhau là góc tạo thành 2 đường thẳng này phải bằng nhau:

1. Góc OAH = góc KAC.

Dựa vào định lý góc tương ứng và tính chất của tam giác vuông tại A, chúng ta có thể áp dụng các yếu tố của tỉ lệ đoạn thẳng để tìm ra điều kiện này.

### Kết luận: Điều kiện của tam giác ABC để AOKC là hình thang cân là góc A phải bằng góc C, tức là tam giác ABC là một tam giác vuông cân tại A.

### Lưu ý

Các bước vẽ hình và chứng minh trên là cơ bản để giải quyết nhiệm vụ đã đưa ra. Việc vẽ hình cẩn thận sẽ giúp bạn hình dung rõ các điểm, đoạn, và mối quan hệ giữa chúng.