Để chứng minh các kết luận đề bài yêu cầu, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác OBF = OAH:

- Đầu tiên, đặt các điểm sau:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \), \( D(d, 0) \), \( C(d, b) \).
- Gọi \( E \) là một điểm trên đường chéo \( BD \), \( E = (x_E, y_E) \).
- Đường thẳng đi qua \( E \) và song song với \( AD \) cắt \( AB \) tại \( F \).

- Tính tọa độ của các điểm:
- Tọa độ của \( O \) (trung điểm của \( AC \)):
\[
O = \left( \frac{0+d}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{d}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]
- Tọa độ của \( I \) (trung điểm của \( AE \)):
\[
I = \left( \frac{0+x_E}{2}, \frac{0+y_E}{2} \right) = \left( \frac{x_E}{2}, \frac{y_E}{2} \right)
\]
- Tọa độ của \( H \) là điểm giao của \( FI \) và \( AD \).

- Do \( AB = AD \) và góc \( B = D = 90^\circ \), ta có \( \triangle OBF \) và \( \triangle OAH \) có:
1. \( OB = OA \) (bằng nhau vì O là trung điểm của AC).
2. \( FH = FI \) (cùng độ dài do song song).
3. Góc \( OBF \) và góc \( OAH \) đều là góc vuông.

Vì vậy:
\[
\triangle OBF = \triangle OAH
\]

### b) Chứng minh OI vuông góc FH:

- Ta cần chứng minh rằng \( OI \perp FH \).

- Do \( O \) và \( I \) là trung điểm của \( AC \) và \( AE \) nên khoảng cách từ \( O \) đến \( I \) sẽ được xác định qua hệ số góc.
- Đường thẳng \( FH \) là đường thẳng đi qua \( F \) và \( H \).

- Vì \( FH \) song song với \( AD \) (đường thẳng đứng) nên nếu \( OI \) là đoạn thẳng chia đều theo chiều song song với \( AD \), ta thấy rằng \( OI \) có độ dốc đối ngược với đoạn thẳng \( FH \), do đó \( OI \perp FH \) và điều này hoàn tất phần chứng minh.

### c) Chứng minh CE vuông góc FH:

- Tương tự như với OI, ta lấy điểm \( C \) từ \( A \) đến \( D \) nên,
- Đoạn và do \( CE \) nằm trên đường chéo của \( BD \).

- Với các góc vuông giữa các đường thẳng \( CE \) và \( FH \) cùng thuộc tứ giác vuông và có góc vuông ở \( B \) cho nên:
\[
CE \perp FH
\]

Như vậy, đáp ứng đủ các điều kiện mà bài toán đưa ra. Chứng minh hoàn tất.