Để tìm cực trị của hàm \( M = x^2 + 2y^2 + 2xy - 2y + 2x + 10 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính các đạo hàm riêng**:
- Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial M}{\partial x} = 2x + 2y + 2
\]
- Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y + 2x - 2
\]

2. **Giải hệ phương trình bằng 0**:
- Đặt \(\frac{\partial M}{\partial x} = 0\) và \(\frac{\partial M}{\partial y} = 0\):
\[
2x + 2y + 2 = 0 \quad (1)
\]
\[
4y + 2x - 2 = 0 \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
- Từ phương trình (1):
\[
x + y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -x - 1
\]
- Thay vào phương trình (2):
\[
4(-x - 1) + 2x - 2 = 0
\]
\[
-4x - 4 + 2x - 2 = 0
\]
\[
-2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]
- Thay giá trị của \( x \) vào phương trình \( y = -x - 1 \):
\[
y = -(-3) - 1 = 2
\]

4. **Điểm cực trị**:
- Điểm cực trị là \( (x, y) = (-3, 2) \).

5. **Xét tính chất của cực trị**:
Sử dụng ma trận Hessian \( H \) để kiểm tra tính chất của cực trị:
\[
H = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 M}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 M}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 M}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 M}{\partial y^2}
\end{pmatrix}
\]
- Tính đạo hàm bậc hai:
\[
\frac{\partial^2 M}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 M}{\partial y^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 M}{\partial x \partial y} = 2
\]
- Ma trận Hessian:
\[
H = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]
- Tính định thức \( \det(H) \):
\[
\det(H) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4 > 0
\]
- Vì \( \frac{\partial^2 M}{\partial x^2} > 0 \), và \( \det(H) > 0 \) nên điểm \( (-3, 2) \) là điểm cực tiểu.

6. **Giá trị cực tiểu**:
- Tính giá trị của \( M \) tại điểm \( (-3, 2) \):
\[
M(-3, 2) = (-3)^2 + 2(2)^2 + 2(-3)(2) - 2(2) + 2(-3) + 10
\]
\[
= 9 + 8 - 12 - 4 - 6 + 10 = 5
\]

Vậy \( M \) đạt giá trị cực tiểu là \( 5 \) tại điểm \( (-3, 2) \).