Chúng ta sẽ tính từng bài một.

**Bài 41:**
Tính tổng của dãy sau:
\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} + \frac{1}{2187}
\]

Các phân số này có thể viết lại dưới dạng lũy thừa của 3:
- \(\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1}\)
- \(\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}\)
- \(\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3}\)
- \(\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4}\)
- \(\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5}\)
- \(\frac{1}{729} = \frac{1}{3^6}\)
- \(\frac{1}{2187} = \frac{1}{3^7}\)

Dãy số trên là một cấp số nhân với \(a = \frac{1}{3}\) và \(q = \frac{1}{3}\). Tổng của mối quan hệ cấp số nhân \(S_n\) có công thức:
\[
S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
Với \(n = 7\):
\[
S_7 = \frac{1/3 \cdot (1 - (1/3)^7)}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} (1 - \frac{1}{2187}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2187}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2186}{2187} = \frac{2186}{4374}
\]

**Bài 42:**
Tính tổng của dãy sau:
\[
1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729}
\]

Có thể tính theo cách tương tự:
\[
= 1 + \frac{1/3}{2/3} (1 - (1/3)^6) = 1 + \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{729})
\]
= \(1 + \frac{364}{729} = \frac{729}{729} + \frac{364}{729} = \frac{1093}{729}\)

Vậy kết quả cuối cùng cho hai bài là:
- **Bài 41:** \(\frac{2186}{2187}\)
- **Bài 42:** \(\frac{1093}{729}\)