Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{x + y}{3} + \frac{2}{3} = 3 \\
\frac{4x - y}{6} + \frac{x}{4} = 1
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải phương trình thứ nhất

Biến đổi phương trình đầu tiên:

\[
\frac{x + y}{3} + \frac{2}{3} = 3
\]

Nhân cả hai bên với 3:

\[
x + y + 2 = 9
\]

Giải phương trình này:

\[
x + y = 7 \quad (1)
\]

### Bước 2: Giải phương trình thứ hai

Giải phương trình thứ hai:

\[
\frac{4x - y}{6} + \frac{x}{4} = 1
\]

Nhân cả hai bên với 12 (bội số chung của 6 và 4):

\[
2(4x - y) + 3x = 12
\]

Mở ngoặc:

\[
8x - 2y + 3x = 12
\]

Gom lại:

\[
11x - 2y = 12 \quad (2)
\]

### Bước 3: Thay giá trị từ (1) vào (2)

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = 7 - x
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
11x - 2(7 - x) = 12
\]

Giải phương trình này:

\[
11x - 14 + 2x = 12
\]

Gom lại:

\[
13x - 14 = 12
\]

Thêm 14 vào cả hai bên:

\[
13x = 26
\]

Chia cả hai bên cho 13:

\[
x = 2
\]

### Bước 4: Tìm giá trị của y

Thay giá trị \( x = 2 \) vào (1):

\[
2 + y = 7
\]

Giải ra:

\[
y = 5
\]

### Kết luận

Giá trị của \( x \) và \( y \) là:

\[
\begin{cases}
x = 2 \\
y = 5
\end{cases}
\]