Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) thuộc cùng một đường tròn, ta cần dựa vào** tính chất của hình chữ nhật** và **điểm chính giữa** của hai đường chéo.

### Chứng minh:
1. **Tính chất hình chữ nhật**: Trong hình chữ nhật \( ABCD \), ta biết:
- \( AB \) và \( CD \) là hai cạnh đối diện bằng nhau: \( AB = CD = 12 \text{ cm} \).
- \( AD \) và \( BC \) là hai cạnh đối diện bằng nhau: \( AD = BC = 5 \text{ cm} \).

2. **Đường chéo**: Các đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình chữ nhật sẽ cắt nhau tại điểm giữa \( O \).
- Ta tính độ dài của đường chéo \( AC \) bằng công thức:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}.
\]
- Tương tự, độ dài của đường chéo \( BD \) cũng sẽ bằng \( 13 \text{ cm} \).

3. **Tính chất vuông**: Trong hình chữ nhật \( ABCD \), góc \( A, B, C, D \) đều là góc vuông (\( 90^\circ \)).
- Do đó, điểm \( O \) là tâm của đường tròn đi qua các điểm \( A, B, C, D \).

### Kết luận:
Bốn điểm \( A, B, C, D \) thuộc một đường tròn với **tâm là điểm giao nhau của hai đường chéo**.

### Tính bán kính:
Bán kính \( R \) của đường tròn chính là khoảng cách từ tâm \( O \) đến một trong bốn điểm (ví dụ từ \( O \) đến \( A \)):
\[
R = \frac{AC}{2} = \frac{13 \text{ cm}}{2} = 6.5 \text{ cm}.
\]

Vậy, bán kính của đường tròn đó là **6.5 cm**.