Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh theo hai phần như sau:

### a) Chứng minh MB là tiếp tuyến của (O)

1. **Xác định điểm M:**
- Vì M là giao điểm của đường vuông góc với AB tại O và đường tiếp tuyến tại A, nên OA vuông góc với MB.

2. **Chứng minh OA vuông góc với MB:**
- Ta có MO là đường vuông góc với AB và MA là đường tiếp tuyến.
- Theo định nghĩa, nếu một đường nối từ tâm O đến điểm A (OA) vuông góc với tiếp tuyến tại A (MA), thì OA khẳng định tiếp tuyến MA và đường tiếp nối MB tại điểm M.

3. **Kết luận:**
- Từ những điều trên, ta có MB vuông góc với OA. Vậy MB là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn (O).

### b) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

1. **Xem xét tứ giác MAOB:**
- Tứ giác MAOB có các cạnh MA và MB là các đường tiếp tuyến.
- OA và OB là các bán kính của đường tròn (O).

2. **Sử dụng định lý về một tứ giác nội tiếp:**
- Tứ giác này là tứ giác nội tiếp nếu tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ.
- Ta biết rằng góc OAM = 90 độ (OA vuông góc với MA) và góc OBM = 90 độ (OB vuông góc với MB).

3. **Kết luận:**
- Vì 2 cặp góc kề nhau tổng cộng là 180 độ nên điểm M, A, O, B là các điểm thuộc cùng một đường tròn.

Với hai chứng minh trên, ta đã hoàn tất bài tập.