Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh 4 điểm \(B, C, E, H\) cùng thuộc một đường tròn.

- **Cách làm**: Ta có thể sử dụng tính chất của các đường cao trong tam giác. Điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), và điểm \(E\) nằm trên đường cao \(BE\). Do đó, góc \(\angle BHE + \angle BCE = 90^\circ\). Từ đó, ta có thể chứng minh rằng bốn điểm \(B, C, E, H\) nằm trên một đường tròn (do tính chất của góc nội tiếp).

### b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh \(IE\) và \(ID\) là tiếp tuyến của đường tròn \((M)\).

- **Cách làm**: Để chứng minh \(IE\) và \(ID\) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ \(I\) đến đường tròn \((M)\) bằng bán kính đường tròn. Chúng ta sẽ sử dụng định lý về khoảng cách từ một điểm đến một đường tròn.

### c) Gọi \(J\) là trung điểm của \(CH\). Chứng minh 4 điểm \(M, J, I, D\) cùng thuộc một đường tròn.

- **Cách làm**: Tương tự như phần a), ta có thể sử dụng tính chất của các điểm \(M, J, I, D\) để chứng minh chúng nằm trên một đường tròn. Ta sẽ cần tìm góc nội tiếp và sử dụng chứng minh góc như ở phần a).

### Tóm lại:
- Phần a có thể được chứng minh dựa trên tính chất của góc nội tiếp.
- Phần b liên quan đến việc chứng minh rằng các đoạn thẳng từ trung điểm đến các điểm trên đường tròn là tiếp tuyến, sử dụng khoảng cách.
- Phần c có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các góc nội tiếp hoặc các thuộc tính liên quan đến các điểm và đường tròn.

Bạn có thể tham khảo thêm sách giáo khoa hoặc tài liệu hình học để có chi tiết chứng minh hơn.