Để chứng minh rằng tam giác \( AHC \) là tam giác vuông, ta sẽ theo các bước dưới đây:

1. **Kí hiệu và định nghĩa**:
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( D \) là điểm trên đường thẳng từ \( A \) vuông góc với \( AB \) tại \( B \).
- Gọi \( E \) là điểm nằm trên đường thẳng \( ID \) sao cho \( IE = ID \).
- Gọi \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( CE \) và \( AB \).

2. **Tính chất vuông góc**:
- Vì \( D \) nằm trên đường thẳng từ \( A \) vuông góc với \( AB \), nên đoạn \( AD \) vuông góc với \( AB \).
- Trong tam giác \( AIB \), do \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( AI \) cũng là đường trung tuyến và vuông góc với \( BC \) (theo định lý đường trung tuyến).

3. **Tam giác vuông tại \( H \)**:
- Ta có \( IE = ID \), và vì \( E \) nằm trên đường thẳng \( ID \), nên \( CE \) sẽ cắt \( AB \) tại một điểm \( H \) sao cho \( \angle AHB = 90^\circ \).

4. **Kết luận**:
- Từ những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng \( \angle AHC = 90^\circ \), nên tam giác \( AHC \) là tam giác vuông.

Do đó, tam giác \( AHC \) là tam giác vuông tại \( H \).