Để tìm một số \( x \) sao cho khi trừ \( x \) từ tử số và cộng \( x \) vào mẫu số của phân số \( \frac{63}{89} \), ta được phân số mới \( \frac{63 - x}{89 + x} \) bằng phân số tối giản \( \frac{3}{5} \), chúng ta sẽ thiết lập phương trình sau:

\[
\frac{63 - x}{89 + x} = \frac{3}{5}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân chéo để giải phương trình:

\[
5(63 - x) = 3(89 + x)
\]

Mở rộng cả hai bên:

\[
315 - 5x = 267 + 3x
\]

Bây giờ, gộp các biến \( x \) ở một bên và các hằng số ở bên kia:

\[
315 - 267 = 5x + 3x
\]

\[
48 = 8x
\]

Chia cả hai bên cho 8:

\[
x = 6
\]

Vậy số \( x \) là 6. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách thay \( x = 6 \) vào biểu thức ban đầu:

Tử số mới: \( 63 - 6 = 57 \)
Mẫu số mới: \( 89 + 6 = 95 \)

Ta có phân số mới:

\[
\frac{57}{95}
\]

Bây giờ ta kiểm tra xem phân số này có bằng \( \frac{3}{5} \) hay không. Tính tỉ lệ:

\[
57 \div 19 = 3 \quad \text{và} \quad 95 \div 19 = 5
\]

Như vậy, \( \frac{57}{95} = \frac{3}{5} \) là đúng.

Kết quả cuối cùng là số cần tìm là \( x = 6 \).