Để chứng minh các kết quả trong bài toán hình thang cân ABCD, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \(\triangle AHD = \triangle BKC\)

**Giả thuyết:**
- Hình thang cân ABCD với \(AB \parallel CD\) và \(AB < CD\).
- Hai đường cao \(AH\) và \(BK\).

**Chứng minh:**
1. **Đoạn vuông:** \(AH \perp AB\) và \(BK \perp CD\).
2. **Đường chéo:** \(AD = BC\) (do hình thang cân).
3. **Góc:** \(\angle AHD = \angle BKC\) (góc đồng vị vì AB // CD).

Dựa vào hai tam giác vuông, ta có:
- \(AH = BK\) (cùng là chiều cao).
- \(AD = BC\).

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (C.G.C) ta có \(\triangle AHD \cong \triangle BKC\).

### b) Chứng minh \(AB = HK\)

**Chứng minh:**
1. Trong hai tam giác đã chứng minh, ta có \(AD = BC\) và \(AH = BK\).
2. Gọi \(H\) và \(K\) là chân đường vuông góc từ \(A\) và \(B\) xuống \(CD\).
3. Theo định nghĩa hình thang, ta có \(AB \parallel CD\), nghĩa là chiều dài của \(AB\) bằng chiều dài của đoạn thẳng nối giữa các đường cao, tức là \(HK\).

Do đó, \(AB = HK\).

### c) Chỉ ra \(KC = \frac{DC - AB}{2}\)

**Chứng minh:**
1. Gọi \(DC = x\), \(AB = y\).
2. Do \(K\) là điểm chia đoạn \(DC\) thành hai phần, ta có:
\[
CK + DK = DC
\]
với \(CK = KC\) và \(DK = AB = y\).
3. Thay vào công thức:
\[
KC + y = x \Rightarrow KC = x - y
\]
4. Vì \(KC\) trên đoạn \(CD\) và tổng chiều dài đoạn này là \(DC\), ta chia đều cho \(2\):
\[
KC = \frac{x - y}{2} = \frac{DC - AB}{2}.
\]

Từ đó, ta đã chứng minh xong bài toán.