Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = | x - 3 | + | x + 5 | + x - 7 \), ta sẽ phân tích các khoảng của \( x \) dựa trên các điểm không liên tục của các giá trị tuyệt đối, cụ thể là \( x = 3 \) và \( x = -5 \).

Chúng ta sẽ xem xét ba khoảng:

1. **Khoảng \( (-\infty, -5) \)**:
- Tại khoảng này, \( |x - 3| = 3 - x \) và \( |x + 5| = -x - 5 \).
- Do đó, \( M = (3 - x) + (-x - 5) + x - 7 = -x - 9 \).

2. **Khoảng \( [-5, 3] \)**:
- Ở khoảng này, \( |x - 3| = 3 - x \) và \( |x + 5| = x + 5 \).
- Vậy \( M = (3 - x) + (x + 5) + x - 7 = x + 1 \).

3. **Khoảng \( [3, +\infty) \)**:
- Trong khoảng này, \( |x - 3| = x - 3 \) và \( |x + 5| = x + 5 \).
- Vậy \( M = (x - 3) + (x + 5) + x - 7 = 3x - 5 \).

Bây giờ ta tính giá trị của \( M \) tại các điểm phân chia:

- Tại \( x = -5 \):
\[
M = |-5 - 3| + |-5 + 5| + (-5) - 7 = 8 + 0 - 5 - 7 = -4
\]

- Tại \( x = 3 \):
\[
M = |3 - 3| + |3 + 5| + 3 - 7 = 0 + 8 + 3 - 7 = 4
\]

Bây giờ xét giá trị của \( M \) trong các khoảng:

1. **Khoảng \( (-\infty, -5) \)**: Hàm \( M = -x - 9 \) giảm dần khi \( x \) tăng, nên giá trị đạt tới nhỏ nhất tại gần \( -5 \) (giá trị gần nhất là \( -4 \)).

2. **Khoảng \( [-5, 3] \)**: Hàm \( M = x + 1 \) là hàm tăng, nên giá trị nhỏ nhất tại \( x = -5 \) là \( -4 \) (điểm này đã được tính).

3. **Khoảng \( [3, +\infty) \)**: Hàm \( M = 3x - 5 \) tăng dần, vì vậy không thể có giá trị nhỏ hơn \( 4 \) tại \( x = 3 \).

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là:
\[
\boxed{-4}
\]