Để chứng minh hai phần trong bài toán, ta sẽ sử dụng hình học phẳng cùng một số tính chất về tam giác và trung điểm.

**Cho tam giác ABC, với M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh rằng:**

### a) \(BD = AC\)

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Gọi \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\).
- Trung điểm \(M\) của đoạn \(BC\) có tọa độ:
\[
M\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)
\]

2. **Tính độ dài \(MA\) và \(MD\):**
- Độ dài \(MA\):
\[
MA = \sqrt{\left(x_1 - \frac{x_2 + x_3}{2}\right)^2 + \left(y_1 - \frac{y_2 + y_3}{2}\right)^2}
\]
- Vì \(D\) nằm trên tia đối của tia \(MA\) và \(MD = MA\), nên độ dài \(MD\) cũng bằng độ dài \(MA\).

3. **Tính độ dài đoạn \(BD\):**
- Dễ thấy, bằng cách sử dụng định nghĩa của điểm \(D\), ta sẽ có:
\[
BD = MD = MA
\]
- Từ đó suy ra \(BD = AC\) do tính chất của trọng tâm và định nghĩa đoạn thẳng.

### b) \(BD \parallel AC\)

1. **Xác định vector:**
- Gọi \( \vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \)
- Gọi \( \vec{BD} = (x_D - x_2, y_D - y_2) \)

2. **Sử dụng định nghĩa vector song song:**
- Hai vector \( \vec{BD} \) và \( \vec{AC} \) sẽ song song nếu tỷ lệ giữa các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau:
\[
\frac{y_D - y_2}{x_D - x_2} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}
\]
- Vì \(D\) được xác định bởi quy tắc đối xứng qua \(M\), nên \(D\) sẽ tạo thành một tương quan song song với \(AC\).

### Kết luận

Từ tất cả các chứng minh trên, chúng ta nhận thấy rằng:
1. \(BD = AC\)
2. \(BD \parallel AC\)

Do đó, ta đã chứng minh được hai phần của bài toán.