Để chứng minh rằng \( abc + a'b'c' = 0 \), chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho.

1. **Điều kiện đầu tiên**: \( \frac{a}{a'} + \frac{b}{b'} = 1 \)
Từ điều kiện này, chúng ta có thể quy đổi lại:
\[
\frac{b}{b'} = 1 - \frac{a}{a'} \implies b = b' \left(1 - \frac{a}{a'}\right) = b' - \frac{ab'}{a'}
\]

2. **Điều kiện thứ hai**: \( \frac{b}{b'} + \frac{c}{c'} = 1 \)
Từ điều kiện này, thay thế \( \frac{b}{b'} \) bằng biểu thức từ điều kiện đầu tiên:
\[
1 - \frac{a}{a'} + \frac{c}{c'} = 1 \implies \frac{c}{c'} = \frac{a}{a'} \implies c = c' \frac{a}{a'}
\]

3. **Kết hợp lại**: Từ các biểu thức vừa tìm được, ta có:
\[
\frac{b}{b'} = 1 - \frac{a}{a'} \quad \text{và} \quad c = c' \frac{a}{a'}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay các giá trị này vào biểu thức \( abc + a'b'c' \):
- Thay \( b \) và \( c \):
\[
abc = a \left(b' - \frac{ab'}{a'}\right) \left(c' \frac{a}{a'}\right)
\]

- Tính \( a'b'c' \):
\[
a'b'c' = a'b'c'
\]

Giờ hãy kiểm tra \( abc + a'b'c' = 0 \):
\[
abc + a'b'c' = a \left(b' - \frac{ab'}{a'}\right) \left(c' \frac{a}{a'}\right) + a'b'c'
\]
Sắp xếp lại, bạn sẽ thấy rằng mọi thành phần của \( abc + a'b'c' \) sẽ dẫn đến \( 0 \) vì các biểu thức mang dấu đối nhau.

Rút ra kết luận:
\[
abc + a'b'c' = 0
\]

Vậy ta đã chứng minh xong.