Để chứng minh bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh rằng \( AM = BC \) và \( AM \parallel BC \)

1. **Sử dụng tính chất trung điểm**:
- \( D \) là trung điểm của \( AC \) => \( AD = DC \)
- \( E \) là trung điểm của \( AB \) => \( AE = EB \)

2. **Xét tam giác \( ABE \)**:
- Ta có \( DE \parallel BC \) (vì \( D \) và \( E \) là trung điểm).
- Suy ra \( \triangle ABE \) và \( \triangle DBC \) có:
- \( \angle ABE = \angle DBC \)
- \( \angle AEB = \angle DCB \)

3. **Áp dụng định lý đồng dạng**:
- Do \( DE \parallel BC \), ta có \( \frac{AB}{EB} = \frac{AD}{DC} \).
- Vì \( D \) và \( E \) là trung điểm nên ta có \( AM = AB \) và \( BC = AE + EC \).

4. **Kết luận**:
- Vậy \( AM = BC \) và \( AM \parallel BC \).

### b) Chứng minh rằng \( A \) là trung điểm của \( MN \)

1. **Xét điểm \( M \) và \( N \)**:
- \( M \) nằm trên tia đối của \( DB \), với \( DM = DB \).
- \( N \) nằm trên tia đối của \( EC \), với \( EN = EC \).

2. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Vì \( D \) và \( E \) là trung điểm, nên \( A \) sẽ là điểm đối xứng của \( M \) và \( N \) theo các đoạn thẳng \( DE \) và \( BC \).

3. **Kết thúc**:
- Do đó, \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

### Kết luận chung

Ta đã chứng minh rằng:

1. \( AM = BC \) và \( AM \parallel BC \)
2. \( A \) là trung điểm của \( MN \)

Như vậy, bài toán được chứng minh hoàn tất.