Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 30 \), ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm và đồng thời biến đổi để phân tích biểu thức.

### Bước 1: Tìm đạo hàm

Đầu tiên, ta sẽ tính đạo hàm riêng của \( C \) theo \( x \) và \( y \).

1. **Đạo hàm theo \( x \)**:
\[
\frac{\partial C}{\partial x} = 2x - 4y + 10
\]

2. **Đạo hàm theo \( y \)**:
\[
\frac{\partial C}{\partial y} = -4x + 10y - 22
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0

Ta giải hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
2x - 4y + 10 = 0 \\
-4x + 10y - 22 = 0
\end{cases}
\]

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
2x - 4y + 10 = 0 \implies 2x = 4y - 10 \implies x = 2y - 5
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:
\[
-4(2y - 5) + 10y - 22 = 0 \\
-8y + 20 + 10y - 22 = 0 \\
2y - 2 = 0 \\
y = 1
\]

Thay giá trị của \( y \) vào biểu thức cho \( x \):
\[
x = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3
\]

Vậy nghiệm của hệ là \( (x, y) = (-3, 1) \).

### Bước 3: Tính giá trị của C tại điểm cực trị

Thay \( x = -3 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức \( C \):
\[
C = (-3)^2 - 4(-3)(1) + 5(1)^2 + 10(-3) - 22(1) + 30
\]
\[
= 9 + 12 + 5 - 30 - 22 + 30
\]
\[
= 9 + 12 + 5 - 30 - 22 + 30 = 4
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( \boxed{4} \).