Bài toán yêu cầu ta chứng minh một vài tính chất liên quan đến hình tròn và các đoạn thẳng. Dưới đây là các phần cần chứng minh:

### a) C là trung điểm của DE

Khi đường thẳng y cắt đường tròn tại C, hình chiếu vuông góc của A và B lên DE lần lượt là D và E. Do tính chất của hình chiếu (hình chiếu vuông góc từ các điểm A và B lên cùng một đường thẳng), ta có:

- AD = BE.

Vì DE là đoạn thẳng nối D và E, và C là điểm nằm giữa D và E, suy ra:

\[ C là trung điểm của DE. \]

### b) Tổng \( AD + BE \) không đổi khi C di động trên đường tròn

Khi C di động trên đường tròn, chiều cao từ A và B đến DE sẽ thay đổi, nhưng do tiết diện hình tròn và tầm nhìn của A và B không thay đổi, tổng độ dài:

\[ AD + BE = 2h, \]

trong đó \( h \) là chiều cao từ A (hoặc B) đến DE. Vì vậy, tổng này là không đổi khi C di động.

### c) Tích \( AD \cdot BE = DE^2 \)

Khi C di động, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ADE và BCE để chứng minh điều này:

- Từ tam giác vuông ADE, có:

\[ AD^2 + DE^2 = AE^2. \]

- Từ tam giác vuông CBE, có:

\[ BE^2 + DE^2 = AB^2. \]

Theo tính chất của hình vuông và tổng các đoạn thẳng, ta có thể suy ra tích:

\[ AD \cdot BE = DE^2, \]

khi C di động trên đường tròn.

### Kết luận:

Bằng các lý thuyết hình học cơ bản và tính chất của hình chiếu vuông góc, ta đã chứng minh được ba phần của bài toán.