Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Biết BC' tạo với mặt phẳng AA'BB' 1 góc 45 độ

Để giải bài toán, ta cần xác định các thông tin cần thiết và thực hiện một số phép tính hình học.

### a) Tính độ dài AA'

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Với điểm C' là điểm đối diện của B trên lăng trụ, ta có thể xét vị trí của các điểm trong không gian.

Theo giả thiết:

- Đáy ABC là tam giác đều và AA' vuông góc với mặt phẳng đáy.
- Tam giác ABC với độ dài cạnh AB = AC = BC = 2a.

Đầu tiên, ta tính chiều cao AA' của hình lăng trụ từ góc B. Mặt phẳng AA'BB' là mặt phẳng chứa cạnh AB và AC.

Do BC' tạo với mặt phẳng AA'BB' một góc 45 độ, ta biết rằng:

\[
\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{d}
\]

trong đó \(h = AA'\) (chiều cao) và \(d\) là khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng AA'BB'.

Ta cần tính d:

1. Tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng AA'BB':
- Do tam giác ABC đều, khi vẽ C' ra ngoài mặt phẳng sẽ tạo thành mặt phẳng đồng tuổi với chiều cao h, với h = AA' = d.

Vì \(h = d\), ta có phương trình:

\[
1 = \frac{AA'}{AA'} \implies AA' = h
\]

Ở đây khó xác định chính xác h vì không có thông tin bổ sung về tầm cao. Chúng ta cần thêm thông tin cụ thể cho chiều cao có được xác định từ góc giữa BC' và mặt phẳng AA'BB'. Do BC' vuông góc 45 độ và cách thức sắp xếp các điểm, ta cho rằng:

Giả thiết thành lập BC' vuông góc, suy ra:
\[
AA' = 2a \cdot \tan(45^\circ) = 2a
\]

### b) Tính góc tạo bởi MN và mặt phẳng ABC

- Đầu tiên, ta xác định tọa độ điểm M và N:
- M là trung điểm AC: M = \(\left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right)\)
- N là trung điểm BB': N = \(\left( \frac{x_B + x_{B'}}{2}, \frac{y_B + y_{B'}}{2}, \frac{z_B + z_{B'}}{2} \right)\)

Góc giữa đoạn MN và mặt phẳng ABC có thể được xác định bằng việc sử dụng sản phẩm vô hướng hoặc công thức cosin.

### c) Tính góc giữa MN và mặt phẳng ABB'A'

Để tìm góc giữa đoạn MN và mặt phẳng ABB'A', ta có thể dùng quy tắc cosin. Nếu xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng và vector MN. Sử dụng công thức:

\[
\cos \alpha = \frac{MN \cdot n}{|MN||n|}
\]

với \(n\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng ABB'A'.

**Chú ý:** Để tính toán cụ thể, chúng ta cần tọa độ cụ thể cho A, B, C và chiều cao AA'. Bài toán cần các thông số chi tiết hơn để hoàn thiện đúng xác định và tính toán.