Tính giá trị của biểu thức: \(M = a^{197} + b^{197}\)

Để tính giá trị của biểu thức \( M = a^{197} + b^{197} \), ta sử dụng các điều kiện đã cho trong bài toán:

\[
a^{200} + b^{200} = a^{201} + b^{201} = a^{202} + b^{202}
\]

Đặt \( S_n = a^n + b^n \). Khi đó, theo điều kiện đã cho, chúng ta có:

\[
S_{200} = S_{201} = S_{202}
\]

Gọi giá trị này là \( k \), tức là:

\[
S_{200} = S_{201} = S_{202} = k
\]

Chúng ta biết rằng theo quy luật của dãy số Fibonacci (hoặc công thức truy hồi cho dãy số này), ta có:

\[
S_n = aS_{n-1} + bS_{n-2}
\]

Áp dụng vào các giá trị, ta có:

1. \( S_{202} = a S_{201} + b S_{200} \)
2. \( S_{201} = a S_{200} + b S_{199} \)

Từ điều kiện \( S_{200} = S_{201} = S_{202} = k \), chúng ta có:

\[
k = a k + b k \implies k = k(a + b)
\]

Nếu \( k \neq 0 \), ta có:

\[
1 = a + b \tag{1}
\]

Tiếp theo, cho \( n = 199 \):

\[
S_{200} = a S_{199} + b S_{198}
\]
Từ \( S_{200} = k \), ta được:

\[
k = a S_{199} + b S_{198}
\]

Kết hợp với các giá trị trước đó, ta tiếp tục suy luận:

Áp dụng tương tự cho \( S_{199} \) và \( S_{198} \) giúp ta thiết lập mối quan hệ, nhưng ta đã chứng minh được rằng nếu \( S_n \) đều bằng \( k \) thì giải thuyết này dẫn đến \( S_{197} = k \) cũng phải bằng \( k \). Từ đó, ta có:

\[
S_{197} = 0 \implies a^{197} + b^{197} = 0.
\]

Vì \( a \) và \( b \) đều dương, suy ra \( a^{197} + b^{197} = 0 \rightarrow a = 0, b = 0 \).

Tóm gọn \( M = a^{197} + b^{197} = 0 \).

Cuối cùng:

\[
\boxed{0}
\]