Để giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện các bước sau:

Gọi thời gian cần thiết để vòi thứ nhất chảy đầy bể là \(x\) (giờ), lúc này thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể sẽ là \(x + 6\) (giờ).

Từ đó, công suất chảy nước của vòi thứ nhất là \(\frac{1}{x}\) bể/giờ và của vòi thứ hai là \(\frac{1}{x+6}\) bể/giờ.

Khi hai vòi cùng hoạt động trong 4 giờ, tổng lượng nước được chảy vào bể là 1 bể. Ta có phương trình:

\[
4 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}\right) = 1
\]

Giải phương trình trên:

1. Phân tích và đưa về phương trình:
\[
\frac{4}{x} + \frac{4}{x+6} = 1
\]
Nhân hai vế với \(x(x+6)\):
\[
4(x + 6) + 4x = x(x + 6)
\]
\[
4x + 24 + 4x = x^2 + 6x
\]
\[
8x + 24 = x^2 + 6x
\]
\[
x^2 - 2x - 24 = 0
\]

2. Giải phương trình bậc hai:
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2}
\]
Nghiệm:
\[
x_1 = 6, \quad x_2 = -4 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

Do đó, thời gian cần để vòi thứ nhất chảy đầy bể là \(6\) giờ, và vòi thứ hai chảy đầy bể là \(6 + 6 = 12\) giờ.

**Kết luận:**
- Vòi thứ nhất cần 6 giờ để đầy bể.
- Vòi thứ hai cần 12 giờ để đầy bể.