Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\
\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = 7
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \). Khi đó hệ phương trình sẽ trở thành:

\[
\begin{cases}
u + v = -1 \\
2u - 2v = 7
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
2u - 2v = 7 \implies u - v = \frac{7}{2}
\]

Bây giờ có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
u + v = -1 \\
u - v = \frac{7}{2}
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:

\[
(u + v) + (u - v) = -1 + \frac{7}{2} \implies 2u = \frac{5}{2} \implies u = \frac{5}{4}
\]

Thay giá trị của \( u \) vào phương trình đầu tiên:

\[
\frac{5}{4} + v = -1 \implies v = -1 - \frac{5}{4} = -\frac{9}{4}
\]

Vậy chúng ta có:

\[
u = \frac{5}{4}, \quad v = -\frac{9}{4}
\]

Trả về \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x} = u \implies x = \frac{4}{5} \\
\frac{1}{y} = v \implies y = -\frac{4}{9}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
x = \frac{4}{5}, \quad y = -\frac{4}{9}
\]